CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG
Các đầu phun nước chữa cháy sprinkler cần
được lắp đặt theo tiêu chuẩn kĩ thuật, trong đó
có tiêu chuẩn về khoảng cách tới từng loại trần,
tường, nhà.
Khoảng cách từ đầu phun nước chữa
cháy đến mặt đất có thể tính như
thế nào?
Khoảng cách từ trần nhà đến mặt đất
được tính như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 26. KHOẢNG CÁCH

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,
đến một mặt phẳng

2

Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng

3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

song song, giữa hai mặt phẳng song song

1. Khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng,
đến một mặt phẳng

 HĐ1:
a) Cho điểm và đường thẳng . Gọi là hình chiếu của trên . Với mỗi
điểm thuộc , giải thích vì sao (H.7.74).
b) Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu của lên Với mỗi điểm
thuộc , giải thích vì sao (H7.75).

Giải

a) Xét tam giác vuông tại H nên .
Vậy
b) Tương tự câu a, sử dụng tính chất cạnh huyền và cạnh góc vuông ta có:

Kết luận:
• Khoảng cách từ một điềm đến một đường thẳng , kí hiệu là
khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .
• Khoảng cách từ một điểm

đến một mặt phẳng , kí hiệu , là

khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .

Chú ý:

Nhận xét
Khoảng cách từ đến đường thẳng (mặt phẳng là khoảng cách
nhỏ nhất giữa và một điểm thuộc (thuộc ).

Chú ý
Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của hình chóp
được gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều . Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng
Tính chiều cao của hình chóp.
Giải
Hình chiếu của trên mặt phẳng là tâm
của tam giác đều .
Trong tam giác đều , ta có
Trong tam giác vuông , ta có

Vậy chiều cao của hình chóp là

Luyện tập 1

Cho hình lăng trụ đứng có là tam giác vuông cân tại
(H.7.77).

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
b) Tam giác là tam giác gì? Tính khoảng cách từ đến
Giải
a) Kẻ tại

Giải
b) vuông tại .

Kẻ vuông góc với tại
Ta có:

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng
và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song

 HĐ2: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Lấy hai điểm bất kỳ thuộc và
gọi tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (H.7.78). Giải thích vì sao là một
hình chữ nhật và có cùng khoảng cách đến
Giải
Ta có:
// .
// nên mặt phẳng cắt theo giao tuyến //.
Mặt khác .
Do đó là một hình chữ nhật.

Vì nên và có cùng khoảng cách đến .

Kết luận
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với
kí hiệu là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến

 HĐ3: a) Cho hai đường thẳng

và

song song với

nhau. Khi một điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ
nó đến đường thẳng có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay
đổi trên (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ đến thay đổi thế
nào khi thay đổi?
Giải
a) Khi một điểm  thay đổi trên đường thẳng , khoảng cách từ  đến đường
thẳng  không thay đổi vì .

 HĐ3: a) Cho hai đường thẳng

và

song song với

nhau. Khi một điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ
nó đến đường thẳng có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay
đổi trên (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ đến thay đổi thế
nào khi thay đổi?
Giải
b) Vì nên các đường thẳng trên mặt đều song song với
Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm  thay đổi trên mặt phẳng ,
khoảng cách từ  đến mặt phẳng  không thay đổi. 

Kết luận
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và , kí hiệu , là
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
• Khoảng cách giữa hai đường đường thẳng song song và

kí

hiệu là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến
đường thẳng kia.

Nếu đường thẳng thuộc mặt phẳng và mặt phẳng song song với
thì giữa và có mối quan hệ gì?

Trả lời:
Lấy
•

// nên

• nên

Chú ý
Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ
được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.

Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng
cách giữa và và

Giải
Đường thẳng thuộc mặt phẳng nên nó song song với
mặt phẳng .
Do là hình hộp đứng nên ).
Vậy .
Do song song với nên song song với
Gọi là tâm của hình thoi .

Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng
cách giữa và và

Giải
Do và nên
Vậy khoảng cách giữa và bằng độ dài đoạn thẳng
Tam giác cân tại và có
nên
Do đó, trong tam giác vuông , ta có
Vậy khoảng cách giữa và bằng .

Luyện tập 2

Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của

a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính
Giải
a) //
;

Luyện tập 2

Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của

a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính
Giải
b) Kẻ tại

𝑯

Ta có: .
Vậy

Vận dụng
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của
khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai
chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột.
Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang.
Tính khoảng cách giữa thanh ngang của
khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi
qua hay không?

Giải

Gọi là một điểm nằm trên thanh ngang và là hình chiếu vuông góc xuống
mặt dốc.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng dốc là
.
Do đó không cho phép xe cao đi qua.

3. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau

 HĐ4: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Gọi là mặt phẳng chứa
đường thẳng và song song với . Hình chiếu của trên cắt tại . Gọi là
hình chiếu của trên (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa và có vuông góc với
hay không?
b) Đường thẳng có vuông góc với cả hai
đường thẳng và hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa
và độ dài đoạn thẳng .

Giải

a) Vì là hình chiếu vuông góc của trên nên và
thuộc cùng một mặt phẳng.
Gọi phương chiếu của đường thẳng xuống là
đường thẳng
Mặt phẳng chứa nên mặt phẳng .
b) Ta có: // //
Do nên .
Mà // .
Vậy .
c) Do // và nên .

Kết luận
- Đường thẳng

cắt hai đường thẳng chéo

nhau và vuông góc với hai đường đó được gọi
là đường vuông góc chung của và .
- Nếu đường vuông góc chung cắt tương ứng
tại thì độ dài đoạn thẳng được gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Nhận xét
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng
còn lại. (Hình 7.85)
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương
ứng chứa hai đường thẳng đó. (Hình 7.86)

Ví dụ 3: Cho hình chóp có Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng và .
Giải

Gọi là hình chiếu của trên
Tam giác vuông tại và có nên
Do vuông góc với mặt phẳng nên là đường vuông
góc chung của và ( thuộc tia và )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

Khám phá
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng và cắt tại . Cho đường thẳng
thuộc mặt phẳng . Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa và khoảng
cách từ đến  (H.7.88).
Giải
Ta có
Mà là đoạn vuông góc chung của và nên
Vậy

Luyện tập 3

Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh , .

a) Tính khoảng cách từ  đến .

b) Chứng minh rằng 

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa  và .
Giải
a) Kẻ
Ta có:
Vậy .
b) .

Luyện tập 3

Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh , .

a) Tính khoảng cách từ  đến .

b) Chứng minh rằng 

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa  và .
Giải
c) Kẻ 
Lại có
Vậy đường vuông góc chung giữa và là

Thảo luận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.
Trả lời:
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách giữa và hình
chiếu của trên .
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa và hình chiếu của
trên .
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với là khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đến

Thảo luận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.
Trả lời:
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất
kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu
trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một
điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI BÓNG ĐÁ

Câu 1. Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và . Diện tích tam giác
bằng . Khoảng cách từ đến bằng bao nhiêu?

ĐÚNG
SAI
RỒI
A. 2a

B. 3a

C. 4a

D. 5a

Câu 2. Cho hình chóp trong đó vuông góc với nhau từng đôi một. Biết .
Khoảng cách từ đến bằng:

ĐÚNG
SAI
RỒI
𝑎√3
𝐴.
2
2 𝑎√5
𝐶.
5

𝐵.
𝐷.

𝑎
𝑎

√2

3

√6

2

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

ĐÚNG
SAI
RỒI
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với
cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường
thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai
đường thẳng đó

Câu 4. Cho hình chóp có , đáy là hình thang vuông cạnh . Gọi và lần lượt
là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và .

ĐÚNG
SAI
RỒI
𝑎√2
𝐴.
2

𝐵.

𝑎
𝐶 .
2

𝑎
𝐷 .
3

𝑎

√3

3

Câu 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Gọi , , lần lượt là trung
điểm của , , . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

ĐÚNG
SAI
RỒI
𝑎√3
𝐴.
3

𝑎
𝐵 .
4

𝑎
𝐶 .
3

𝑎

𝐷.

√2

4

Bài 7.22 (SGK – tr.59)

Cho hình chóp  có đáy là một hình vuông cạnh , mặt bên
là một tam giác đều và

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa  và

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và
Giải
a) Kẻ tại
Vì
mà nên
Vì tam giác là tam giác đều cạnh nên
Vậy chiều cao của hình chóp bằng 

Giải

b) Vì là hình vuông nên
Khi đó
Vì là hình vuông nên
Và nên suy ra
Do đó .

c) Kẻ tại , mà nên
Mà nên suy ra là đường vuông góc chung của và .
Vì tam giác đều có là đường cao nên
Vậy

Bài 7.23 (SGK – tr.59)

Cho hình hộp chữ nhật có

a) Tính khoảng cách giữa và
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và
Giải
a) Kẻ tại Vì nên
mà nên
Vì là hình chữ nhật nên nên
Khi đó
Vì là hình chữ nhật nên

Bài 7.23 (SGK – tr.59)

Cho hình hộp chữ nhật có

a) Tính khoảng cách giữa và
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và
Giải
Xét tam giác vuông tại là đường cao nên

Giải

b) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và
Do là hình chữ nhật nên là trung điểm của và là hình chữ
nhật nên là trung điểm của và
Có và nên là hình bình hành mà nên .
Do đó là hình chữ nhật.

Do là hình chữ nhật và là trung điểm của , là trung điểm của nên và
Chứng minh tương tự ta có
Suy ra là đường vuông góc chung của và . Vậy

Bài 7.24 (SGK – tr.59)

Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Gọi tương ứng là trung

điểm của các cạnh . Chứng minh rằng:
a) là đường vuông góc chung của và
b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều vuông góc với nhau.
Giải

a) Vì là trung điểm của nên là trung tuyến
Vì tam giác đều nên là trung tuyến đồng thời là đường cao
hay .
Tương tự ta có .
Vậy suy ra .
Chứng minh tương tự .
Vì và nên là đường vuông góc chung của và